Question

經市場調查，某種商品在120天內的日銷售量和售價均為時間t（天）的函數，日銷售量與時間的關系用圖（1）的一條折線表示，售價與時間的關系用圖（2）的一條折線表示．
（1）寫出圖（1）表示的日銷售量Q（千克）與時間t的函數關系式Q=g（t）；
寫出圖（2）表示的售價（元/千克）與時間t的函數關系式P=f（t）；
（2）求日銷售額y（元）與時間t的函數關系，并求出日銷售額最高的是哪一天？最高的銷售額是多少？（注：日銷售額=日銷售量×售價）

Answer 1

分析：（1）當0＜t≤60時，直線過點（0，15），（60，30），求得函數g（t）的解析式；同理60＜t≤120時，求得函數g（t），得分段函數g（t）；同理可得：當0＜t≤60時，函數f（t），當60＜t≤120時，函數f（t）；即分段函數f（t）；
（2）當0＜t≤60時，函數y=g（t）•f（t），計算最大值；當60＜t≤120時，函數y=g（t）•f（t），計算最大值；綜上得：分段函數y的最大值．

解答：解：（1）當0＜t≤60時，直線過點（0，15），（60，30），所以函數g（t）=

1

4

t+15；
同理60＜t≤120時，函數g（t）=-

1

2

t+60；
∴當日銷售量Q與時間t的函數關系式Q=g（t）=

1 4 t+15 (0＜t≤60) - 1 2 t+60 (60＜t≤120)

；
當0＜t≤60時，函數f（t）=-

1

3

t+40；當60＜t≤120時，函數f（t）=

1

12

t+15；
∴售價P與時間t的函數關系式P=f（t）=

- 1 3 t+40 (0＜t≤60) 1 12 t+15 (60＜t≤120)

；
（2）根據題意，當0＜t≤60時，函數y=g（t）•f（t）=-

1

12

t2+5t+600，t=30時，y有最大值，是675；當60＜t≤120時，函數y=g（t）•f（t）=-

1

24

t2 -

5

2

t+900，無最大值；
綜上知：日銷售額y與時間t的函數為：y=

- 1 12 t2 +5t+600 (0＜t≤60) - 1 24 t2 - 5 2 t+900 (60＜t≤120)

；
且當t=30時，y最大，即在第30天的時候銷售額最大，最高額為675元．

點評：本題利用圖象考查了分段函數的應用；利用圖象求函數解析式時，要注意圖象上的關鍵點，通過關鍵點的坐標，可得出所求的解析式．