Question

已知數列{a_n}、{b_n}滿足：a₁=1，a₂=a（a為實數），且，其中n=1，2，3，…
（Ⅰ）求證：“若數列{a_n}是等比數列，則數列{b_n}也是等比數列”是真命題；
（Ⅱ）寫出（Ⅰ）中命題的逆命題；判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.

Answer 1

（I）證明見解析
（II）逆命題是：若是等比數列，則也是等比數列，是假命題.

（I）因為是等比數列，
又…………………………………………2分

∴是以a為首項，為公比的等比數列.………………………………6分
（II）（I）中命題的逆命題是：若是等比數列，則也是等比數列，是假命題.
……………………………………………………………8分
設的公比為則
又
是以1為首項，q為公比的等比數列，
是以為首項，q為公比的等比數列.……………………10分
即為1，a，q，aq，q²，aq²，…
但當q≠a²時，不是等比數列
故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分
另解：取a=2，q=1時，

因此是等比數列，而不是等比數列.
故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分