Question

在（x-a）¹⁰的展開式中，x⁷的系數(shù)等于∫

2 0

（

1

2

-4x³）dx，則實(shí)數(shù)a=

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)積分公式求出x⁷的系數(shù)，然后根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式建立方程關(guān)系即可求解．

解答：解：∫

2 0

（

1

2

-4x³）dx=（

1

2

x-x⁴）|

2 0

=

1

2

×2-24=1-16=-15，
即x⁷的系數(shù)為-15．
又展開式的通項(xiàng)公式為T_k+1=

C

k 10

x10-k•(-a)k，
∴當(dāng)k=3時(shí)，T4=

C

3 10

•(-a)3•x7=-120a3•x7，
∵x⁷的系數(shù)為-15．
∴-120a³=-15，
即a3=

1

8

，
解得a=

1

2

，
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)展開式的應(yīng)用以及微積分定理的計(jì)算，要求熟練掌握相應(yīng)的計(jì)算公式，比較基礎(chǔ)．