Question

（2007•湛江二模）若關于x的不等式|x-2|-|x-5|＞k的解集不是空集，則實數k的取值區間為

（-∞，3）

．

Answer 1

分析：依題意，不等式|x-2|-|x-5|＞k有解，k應該小于|x-2|-|x-5|的最大值，從而可得實數k的取值區間．

解答：解：令f（x）=|x-2|-|x-5|，
∵不等式|x-2|-|x-5|＞k的解集不是空集，
∴|x-2|-|x-5|＞k有解，
∴k小于f（x）=|x-2|-|x-5|的最大值．
因為f（x）=|x-2|-|x-5|≤|（x-2）-（x-5）|=3，
即f（x）_max=3，
∴k＜3．
∴實數k的取值區間為（-∞，3）．
故答案為（-∞，3）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，理解題意，得到k應該小于|x-2|-|x-5|的最大值是關鍵，考查理解與轉化運算的能力，屬于中檔題．