Question

已知p：?x∈R，f（x）=|x-2|+|x|＞m恒成立．q：f（x）=log_5m-2x在（0，+∞）為單調遞增，當￢p、￢q有且僅有一個為真命題時，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：易得函數f（x）的最小值，由恒成立可得p對應的m的范圍，再由函數的單調性可得q對應的m的取值范圍，進而可得￢p、￢q對應的m的范圍，進而可得答案．

解答：解：去掉絕對值可得：f（x）=

2x-2  x＞2 2  0≤x≤2 2-2x  x＜0

，所以f（x）_min=2，
因為?x∈R，f（x）=|x-2|+|x|＞m恒成立，∴m＜2…（4分）
因為：q：f(x)=lo

g

5m-2

x  在(0，+∞)為單調增函數．
∴5m-2＞1即：m＞

3

5

…（8分）
故￢p是真命題時m≥2，￢q是真命題時m≤

3

5

，
因為￢p、￢q有且僅有一個為真命題
所以m的取值范圍為：m≥2或m≤

3

5

…（12分）

點評：本題考查命題的否定和命題真假的判斷，涉及絕對值和對數函數，屬基礎題．