Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正視圖、側視圖均為直角三角形，俯視圖為直角梯形。

（1）M為AC中點，證明：BM⊥平面PAC：
（2）設直線PD與平面PAC所成的角的正弦值為，求過P-ACD的外接球的體積。

Answer 1

解：（1）證明：由三視圖可知PA⊥平面ABCD， 即BM⊥PA， 又AB=BC，且M是AC的中點， 即BM⊥AC， 所以BM⊥平面PAC。
（2）連接BM延長交AD于E，即E為AD的中點， 又取PA中點為F，連接MF，EF∥PD， 即PD與平面PAC所成的角，轉化為EF與平面PAC 所成的角， ∠MFE為EF與平面PAC所成的角，， 又AC⊥CD，PA⊥CD， 所以PC⊥CD 過P-ACD的外接球的球心為PD的中點， 外接球的半徑 外接球體積為。