Question

某班有學生56名，其中男生32名，女生24名，現決定從該班學生中抽取7名學生的研究性學習綜合評價等級得分（成績分為1～5分的五個檔次）作為樣本．
（1）如果按性別比例分層抽樣，則男、女生分別抽取多少人？
（2）若這7位同學的研究性學習綜合評價等級得分如下表：

等級得分	1	2	3	4	5
人數	0	1	1	2	3

①求樣本的平均數及方差；
②用簡單隨機抽樣方法從這7名學生中抽取2名，他們的得分分別為x，y，求|y-x|=2的概率．

Answer 1

分析：（1）根據題意，計算全班中男生、女生所占的比例，由分層抽樣方法的定義，計算可得答案；
（2）①根據題意，結合平均數、方差公式直接計算可得答案；
②根據題意，將樣本中的2個“4分”記為4₁，4₂，3個“5分”記為5₁，5₂，5₃，列舉“從這7名學生中抽取2名”的基本事件可得其數目，分析可得滿足條件|y-x|=2的基本事件的數目，由等可能事件的概率公式，計算可得答案．

解答：解：（1）根據題意，全班有學生56名，其中男生32名，女生24名，
則男生占的比例為

32

56

=

4

7

，女生占的比例為

24

56

=

3

7

，
則抽取男生人數為：7×

4

7

=4人
則抽取女生人數為：7×

3

7

=3人
（2）①樣本的平均數

.

x

=

0×1+1×2+1×3+2×4+3×5

7

=4
樣本的方差s²=

1

7

[（2-4）²+（3-4）²+2×（4-4）²+3×（5-4）²]=

8

7

②由于樣本中有2個“4分”，3個“5分”，不妨將2個“4分”記為4₁，4₂，將3個“5分”記為5₁，5₂，5₃，
則基本事件有（2，3），（2，4₁），（2，4₂），（2，5₁）（2，5₂），
（2，5₃），（3，4₁），（3，4₂），（3，5₁），（3，5₂），
（3，5₃），（4₁，4₂），（4₁，5₁），（4₁，5₂），（4₁，5₃），
（4₂，5₁），（4₂，5₂），（4₂，5₃），（5₁，5₂），（5₁，5₃），（5₂，5₃）共21個，
滿足條件|y-x|=2的基本事件有（2，4₁），（2，4₂），（3，5₁），（3，5₂），（3，5₃）共5個，
故滿足條件的概率為P=

5

21

．

點評：本題考查列舉法求等可能事件的概率，涉及分層抽樣方法以及平均數、方差的計算，需要掌握這些公式．