Question

已知函數f（x）=ax⁵+bsin³x+2（a，b∈R），f（lg（log₂10））=5，則f（lg（lg2））=

-1

．

Answer 1

分析：構造輔助函數g（x）=ax⁵+bsin³x，可得該函數為定義域內的奇函數，找出lg（log₂10）與lg（lg2）的關系，由f（lg（log₂10））=5，結合奇函數的性質求解f（lg（lg2））的值．

解答：解：設g（x）=ax⁵+bsin³x，函數的定義域為R，
∵g（-x）=a（-x）⁵+bsin³（-x）=-ax⁵-bsin³x=-g（x），
∴g（x）為奇函數，
那么有：f（x）=g（x）+2．
∵lg（log₂10）=-lg(log210)-1=-lg（lg2），
令x=lg（log₂10），則-lg（lg2）=x，即lg（lg2）=-x，
那么f（x）=g（x）+2=5，g（x）=3，因此g（-x）=-g（x）=-3，
則f（lg（lg2））=f（-x）=g（-x）+2=-3+2=-1．
故答案為：-1．

點評：本題考查了對數的運算性質，考查了函數奇偶性的性質，關鍵是構造函數g（x）=ax⁵+bsin³x，屬中檔題．