Question

已知向量

a

=(cos

3x

4

，sin

3x

4

)，

b

=(cos(

x

4

+

π

3

)，-sin(

x

4

+

π

3

))
（1）令f（x）=（

a

+

b

）²，求f（x）解析式及單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）若x∈[-

π

6

，

5π

6

]，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：

f(x)=

 2cos(x+

π

3

)+2，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間可得：當(dāng)2kπ-π≤x+

π

3

≤2kπ，k∈2，進(jìn)而得到答案．
（2）由x∈[-

π

6

，

5π

6

]，得x+

π

3

∈[

π

6

，

7π

6

]，-1≤cos(x+

π

3

)≤

3

2

，再結(jié)合余弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)可得答案．

解答：解：（1）由題意可得：

f(x)=( a + b )2= a 2+2 a • b  + b 2=1+2[cos 3x 4 cos( x 4 + π 3 )-sin 3x 4 sin( x 4 + π 3 )]+1 =2+2cos(x+ π 3 )

由余弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間可得：
當(dāng)2kπ-π≤x+

π

3

≤2kπ，k∈2，
即：2kπ-

4π

3

≤π≤2kπ-

π

3

，k∈Z時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）增區(qū)間為：[2kπ-

4π

3

，2kπ-

π

2

]，k∈Z
（2）由x∈[-

π

6

，

5π

6

]，得x+

π

3

∈[

π

6

，

7π

6

]，
所以-1≤cos(x+

π

3

)≤

3

2

，
∴當(dāng)x=-

π

6

時(shí)f（x）max=2+

3

，當(dāng)x=

2π

3

時(shí)，f（x）min=0．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)的化簡(jiǎn)公式，以及三角函數(shù)的性質(zhì)．