Question

三次函數f（x）=x³+bx²+cx+d（b，c，d∈R）在區間[-1，2]上是減函數，那么b+c的取值范圍是（　　）

• A、(-∞， 

  15

  2

  )
• B、(-∞， -

  15

  2

  )
• C、A（x₀，f（x₀））
• D、(-∞，-

  15

  2

  ]

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用,不等式的解法及應用

分析：求出原函數的導函數，由導函數在x∈[-1，2]上恒成立列出關于b，c的不等式組，然后利用線性規劃知識求得b+c的取值范圍．

解答： 解：由f（x）=x³+bx²+cx+d，
則f′（x）=3x²+2bx+c．
要使函數f（x）=x³+bx²+cx+d的區間[-1，2]上是減函數，
則f′（x）=3x²+2bx+c≤0在x∈[-1，2]上恒成立．
所以

f′(-1)≤0 f′(2)≤0

，即

3-2b+c≤0 12+4b+c≤0

．
以b為橫軸，c為縱軸畫出可行域如圖，
聯立

3-2b+c=0 12+4b+c=0

，
解得

b=- 3 2 c=-6

．
所以可行域上頂點為（-

3

2

，-6）．
則b+c的最大值為-

3

2

-6=-

15

2

．
故b+c的取值范圍是（-∞，-

15

2

]．
故選：D

點評：本題考查了函數的單調性與導函數之間的關系，訓練了利用線性規劃知識求最值，是中檔題．