Question

18．設函數f（x）=-2cosx-x+（x+1）ln（x+1），g（x）=k（x²+$\frac{2}{x}$）．其中k≠0．
（1）討論函數g（x）的單調區間；
（2）若存在x₁∈（-1，1]，對任意x₂∈（$\frac{1}{2}$，2]，使得f（x₁）-g（x₂）＜k-6成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論k的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）求出函數的導數，問題轉化為f（x）_min＜k-6+g（x）_min，通過討論k的范圍，結合函數的單調性，確定k的具體范圍即可．

解答 解：（1）g′（x）=2kx-$\frac{2k}{{x}^{2}}$=$\frac{2k{（x}^{3}-1）}{{x}^{2}}$，…（1分）
當k＞0時，令g′（x）＞0，得x＞1，∴g（x）的遞增區間為（1，+∞）．…（2分）
令g′（x）＜0，得x＜1，x≠0，∴g（x）的遞減區間為（-∞，0），（0，1）．…（3分）
k＜0時，同理得g（x）的遞增區間為（-∞，0），（0，1）；遞減區間為（1，+∞）．…（5分）
（2）f′（x）=2sinx-1+ln（x+1）+1=2sinx+ln（x+1），…（6分）
∵當x∈（-1，1]時，y=2sinx及y=ln（x+1）均為增函數，
∴f′（x）在（-1，1]為增函數，又f′（0）=0，…（7分）
∴當x∈（-1，0）時，f′（x）＜0；當x∈（0，1]時，f′（x）＞0，
從而，f（x）在（-1，0）上遞減，在（0，1]上遞增，…（8分）
∴f（x）在（-1，1]上的最小值為f（0）=-2．…（9分）
∵f（x₁）-g（x₂）＜k-6，∴f（x₁）＜k-6+g（x₂），
∴f（x）_min＜k-6+g（x）_min，當k＞0時，∴g（x）_min=g（1）=3k，
∴4k-6＞-2，∴k＞1，
當k＜0時，g（x）_min=g（2）=5k，∴6k-6＞-2，∴k＞$\frac{2}{3}$，
又k＜0，∴k＜0時不合題意．
綜上，k∈（1，+∞）．…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．