Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，E，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0）、（-1，0），動點(diǎn)G滿足：直線GE與直線FG的斜率之積為-4．動點(diǎn)G的軌跡與過點(diǎn)C（0，-1）且斜率為k的直線交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求動點(diǎn)G的軌跡方程；
（Ⅱ）若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4 求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)動點(diǎn)G的坐標(biāo)（x，y），求出直線EG的斜率，直線FG的斜率，利用已知條件求解即可．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx-1代入到x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，消y整理可得（k²+4）x²-2kx-3=0，由此利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）已知E（1，0），F(xiàn)（-1，0），設(shè)動點(diǎn)G的坐標(biāo)（x，y），
∴直線EG的斜率k₁=$\frac{y}{x-1}$，直線FG的斜率k₂=$\frac{y}{x+1}$，（y≠0），
∵k₁•k₁=-4，
∴$\frac{y}{x-1}$•$\frac{y}{x+1}$=-4，
即x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，（y≠0），
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx-1代入到x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
消y整理可得（k²+4）x²-2kx-3=0，
則△=4k²+12（4+k²）＞0，
則x₁+x₂=$\frac{2k}{{k}^{2}+4}$，
由$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=$\frac{k}{{k}^{2}+4}$，
解得k=2．

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．