Question

已知點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C：x²-=1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線于點(diǎn)M，且∠MF₁F₂=30°，圓O的方程為x²+y²=b²．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過(guò)圓O上任意一點(diǎn)Q（x，y）作切線l交雙曲線C于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，AB中點(diǎn)為M，求證：|AB|=2|OM|；
（3）過(guò)雙曲線C上一點(diǎn)P作兩條漸近線的垂線，垂足分別是P₁和P₂，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定|MF₂|=b²，|MF₁|=2b²，由雙曲線的定義可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2，從而可得雙曲線C的方程；
（2）分類討論：①當(dāng)切線l的斜率存在，設(shè)切線l的方程代入雙曲線C中，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線l與圓O相切，可得|AB|=2|OM|成立；②當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)，求出A，B的坐標(biāo)，即可得到結(jié)論；
（3）確定兩條漸近線方程，設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)P（x，y），求出點(diǎn)P到兩條漸近線的距離，利用P（x，y）在雙曲線C上，及向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．
解答：（1）解：設(shè)F₂，M的坐標(biāo)分別為（），（）（y＞0）-------------------（1分）
因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線C上，所以1+b²-=1，即，所以|MF₂|=b²------------（2分）
在直角△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，|MF₂|=b²，所以|MF₁|=2b²------------（3分）
由雙曲線的定義可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2
故雙曲線C的方程為：-------------------（4分）
（2）證明：①當(dāng)切線l的斜率存在
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切線l的方程為：y=kx+n（k≠）
代入雙曲線C中，化簡(jiǎn)得：（2-k²）x²-2knx-（n²+2）=0
所以|AB|==×-------------------（6分）
因?yàn)橹本�l與圓O相切，所以，代入上式，得|AB|=-----------（7分）
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x_M，y_M），則x_M=，y_M=，
所以|OM|=-------------------（8分）
即|AB|=2|OM|成立
②當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)，A（），B（）或A（），B（）
此時(shí)|AB|=2，|OM|=，即|AB|=2|OM|成立-------------------（10分）
（3）解：由條件可知：兩條漸近線分別為l₁：，l₂：-------------------（11分）
設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)P（x，y），則點(diǎn)P到兩條漸近線的距離分別為，
所以=-------------------（13分）
因?yàn)镻（x，y）在雙曲線C上，所以
故=-------------------（14分）
設(shè)和的夾角為θ，則cosθ==-------------------（15分）
所以=cosθ=-------------------（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．