Question

已知函數f(x)=loga(x2-2)，若f（2）=1，求
（1）實數a的值；
（2）函數f(3

2

)的值；
（3）不等式f（x）＜f（x+1）的解集．

Answer 1

分析：（1）由于已知函數f(x)=loga(x2-2)，f（2）=1，可得 log_a2=1，由此求得 a的值．
（2）由（1）可得 f（x）=log2(x2-2)，由此可得 f(3

2

)=log₂（18-2）的值．
（3）不等式f（x）＜f（x+1）即 log2(x2-2)＜log2[(x+1)2-2]，故有 （x+1）²-2＞（x²-2）＞0，由此解得不等式的解集．

解答：解：（1）∵已知函數f(x)=loga(x2-2)，f（2）=1，∴log_a2=1，a=2．
（2）由（1）可得 f（x）=log2(x2-2)，∴f(3

2

)=log₂（18-2）=4．
（3）不等式f（x）＜f（x+1）即 log2(x2-2)＜log2[(x+1)2-2]，∴（x+1）²-2＞（x²-2）＞0，
解得 x＞

2

，故不等式的解集為 （

2

，+∞）．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質的應用，求函數的值，解對數不等式，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．