Question

函數f（x）的圖象與函數g（x）=（

1

2

）^x的圖象關于直線y=x對稱，則f（2x-x²）的單調減區間為（　　）

A．（-∞，1）

B．[1，+∞]

C．（0，1）

D．[1，2]

Answer 1

分析：由題意知函數f（x）是函數g（x）=（

1

2

）^x的反函數，根據反函數的定義求出f（x）=log

1

2

x，再由復合函數的單調性即可求出f（2x-x²）的單調減區間

解答：解：由題意函數f（x）的圖象與函數g（x）=（

1

2

）^x的圖象關于直線y=x對稱知，函數f（x）是函數g（x）=（

1

2

）^x的反函數
所以f（x）=log

1

2

x
即f（2x-x²）=log

1

2

(2x-x2)
令2x-x²≥0，解得0≤x≤2，
又f（x）=log

1

2

x是減函數，t=2x-x²在（-∞，1）上增，在（1，+∞）上減
由復合函數的單調性知，f（2x-x²）的單調減區間為（0，1）
故選C

點評：本題考查復合函數的單調性及反函數的定義，解答的關鍵是熟練掌握反函數的定義及復合函數單調性的判斷規則，本題是一個易錯題，易因為忘記求函數的定義域導致誤選A