Question

【題目】在直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于， 兩點，點的坐標為．當變化時，解答下列問題：

（1）以為直徑的圓能否經過點？說明理由；

（2）過， ， 三點的圓在軸上截得的弦長是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）不經過點；（2）定值為.

【解析】試題分析：（1）在方程中，令可得點, 的坐標，驗證AC的斜率與BC的斜率之積是否為-1即可；（2）設過A，B，C三點的圓的方程為，將點三點坐標代入方程，并結合，可得，進一步得，故圓的方程為，令y=0可解得，因此圓在y軸上截得的弦長是定值為4.。

試題解析：

（1）以為直徑的圓不經過點C，理由如下：

設二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點，設，

在方程中，令，得，

則是方程的兩根，

∴

又C的坐標為（0，1），

故AC的斜率與BC的斜率之積為

所以直線AC,BC不垂直，

因此以為直徑的圓不經過點C.

（2）設過A，B，C三點的圓的方程為，

∵點在圓上，

∴

，

由（1）

，

∴，

圓的方程為，

令，得

解得，

∴圓在y軸上截得的弦長是定值為4.