Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=1，BC=2．
（1）求證：A₁C₁⊥AB；
（2）求點B₁到平面ABC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證A₁C₁⊥AB，可先證A₁C₁⊥平面ABB₁，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證AB₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥BB₁；
（2）由（1）知點B₁到平面ABC₁的距離是三棱錐B₁-ABC₁的高，求出S△ABC1，再利用換低公式和體積相等求出點B₁到平面ABC₁的距離．

解答：（1）證明：連接A₁B，則A₁B⊥AB₁．
又∵AB₁⊥BC₁，
∴AB₁⊥平面A₁BC₁．
∴AB₁⊥A₁C₁．
又∵A₁C₁⊥BB₁，
∴A₁C₁⊥平面ABB₁．
∴A₁C₁⊥AB．
（2）解：由（1）知AB⊥AC，∵AB⊥AC₁，
又∵AB=1，BC=2，
∴AC=

3

，AC₁=2．
∴S△ABC1=1．
設所求距離為d，
∴VB1-ABC1=VC1-ABB1．
∴

1

3

S_△ABC₁•d=

1

3

S△ABB1•A₁C₁．
∴

1

3

•1•d=

1

3

•

1

2

•

3

．
∴d=

3

2

．點B₁到平面ABC₁的距離d=

3

2

．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及點、線、面間的距離計算等有關知識，注意求點到面的距離可用體積相等和換底求解；屬于中檔題．