Question

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，點M是棱AA′的中點，點O是對角線BD′的中點．
（Ⅰ）求證：OM為異面直線AA′和BD′的公垂線；
（Ⅱ）求二面角M-BC′-B′的大小．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（1）由題意及圖形，利用正方體的特點及異面直線間的公垂線的定義可以求證；
（2）由題意及圖形，利用三垂線定理，求出所求的二面角的平面角，然后再在三角形中求出角的大小．
解法二：（1）由題意及正方體的特點可以建立如圖示的空間直角坐標系，利用向量的知識證明兩條直線垂直；
（2）由題意及空間向量的知識，抓好兩平面的法向量與二面角之間的關系進而可以求出二面角的大小
解答：解：法一（1）連接AC，取AC中點K，
則K為BD的中點，連接OK
因為M是棱AA′的中點，點O是BD′的中點
所以AM
所以MO
由AA′⊥AK，得MO⊥AA′
因為AK⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′
所以AK⊥BD′
所以MO⊥BD′
又因為OM是異面直線AA′和BD′都相交
故OM為異面直線AA'和BD'的公垂線；
（2）取BB′中點N，連接MN，
則MN⊥平面BCC′B′
過點N作NH⊥BC′于H，連接MH
則由三垂線定理得BC’⊥MH
從而，∠MHN為二面角M-BC′-B′的平面角
MN=1，NH=Bnsin45°=
在Rt△MNH中，tan∠MHN=
故二面角M-BC′-B′的大小為arctan2．

法二：
以點D為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系D-xyz
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
A′（1，0，1），C′（0，1，1），D′（0，0，1）
（1）因為點M是棱AA′的中點，點O是BD′的中點
所以M（1，0，），O（，，），
=（0，0，1），=（-1，-1，1）=0，+0=0
所以OM⊥AA′，OM⊥BD′
又因為OM與異面直線AA′和BD′都相交
故OM為異面直線AA′和BD′的公垂線；
（2）設平面BMC'的一個法向量為=（x，y，z）
=（0，-1，），=（-1，0，1）
即
取z=2，則x=2，y=1，從而=（2，1，2）
取平面BC′B′的一個法向量為=（0，1，0）
cos
由圖可知，二面角M-BC′-B′的平面角為銳角
故二面角M-BC′-B′的大小為arccos．

點評：本小題主要考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體等基礎知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應用向量知識解決數學問題的能力．