Question

已知函數f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）當時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若函數f（x）僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若對于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a的值代入后對函數f（x）進行求導，當導函數大于0時求原函數的單調增區間，當導函數小于0時求原函數的單調遞減區間．
（2）根據函數f（x）僅在x=0處有極值說明f'（x）=0僅有x=0一個根得到答案．
（3）根據函數f（x）的單調性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出b的范圍．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=4x³+3ax²+4x=x（4x²+3ax+4）．
當時，f'（x）=x（4x²-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）．
令f'（x）=0，解得x₁=0，，x₃=2．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（x）在，（2，+∞）內是增函數，在（-∞，0），內是減函數．
（Ⅱ）f'（x）=x（4x²+3ax+4），顯然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根．
為使f（x）僅在x=0處有極值，必須4x²+3ax+4≥0成立，即有△=9a²-64≤0．
解些不等式，得．這時，f（0）=b是唯一極值．
因此滿足條件的a的取值范圍是．
（Ⅲ）由條件a∈[-2，2]，可知△=9a²-64＜0，從而4x²+3ax+4＞0恒成立．
當x＜0時，f'（x）＜0；當x＞0時，f'（x）＞0．
因此函數f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）與f（-1）兩者中的較大者．
為使對任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，
當且僅當，即，在a∈[-2，2]上恒成立．
所以b≤-4，因此滿足條件的b的取值范圍是（-∞，-4]．
點評：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、函數的最大值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力．