Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象經過原點，f′（1）=0，曲線y=f（x）在原點處的切線到直線y=2x+3的角為135°．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對于任意實數α和β，不等式|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象經過原點，有f（0）=c=0，利用在x=1處取得極值可知f′（1）=3+2a+b=0，再根據曲線y=f（x）在原點處的切線的斜率k=f′（0）=b，而直線y=2x+3到此切線所成的角為135°，根據到角公式可求得解得b=-3，從而可求函數的解析式；
（2）|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立等價于|f（x）_max-f（x）_min|≤m，由于2sinα∈[-2，2]，2sinβ∈[-2，2]，故只需求出f（x）=x³-3x在[-2，2]上的最值，從而可得m的最小值．

解答：解：（1）由題意有f（0）=c=0，f'（x）=3x²+2ax+b且f′（1）=3+2a+b=0
又曲線y=f（x）在原點處的切線的斜率k=f′（0）=b，而直線y=2x+3到此切線所成的角為135°，
所以

2-b

1+2b

=-1②（4分）
聯立①②解得a=0，b=-3
∴f（x）=x³-3x…．（6分）
（2）|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立等價于|f（x）_max-f（x）_min|≤m（8分）
由于2sinα∈[-2，2]，2sinβ∈[-2，2]，故只需求出f（x）=x³-3x在[-2，2]上的最值，而f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0得x=±1
列表如下：

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+		-		+
f（x）	-2		2		-2		2

∴f（x）_max=2，f（x）_min=-2
∴|f（x）_max-f（x）_min|=4≤m
∴m的最小值為4（12分）

點評：本題以函數為載體，考查導數的幾何意義，考查利用導數求函數的極值、最值，考查恒成立問題，屬于中檔題．