Question

函數y=f（x）是定義在R上的增函數，函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，若任意的x∈R，不等式f（ax²）+f（ax+1）＞0恒成立，則a的取值范圍為（　　）

A．（0，4）

B．[0，4）

C．（-4，0）

D．（-4，0]

Answer 1

分析：根據函數圖象變換以及函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，可以得到y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，從而確定了函數f（x）的奇偶性，再利用奇偶性將不等式f（ax²）+f（ax+1）＞0對任意的x∈R恒成立，轉化為f（ax²）＞f（-ax-1）對任意的x∈R恒成立，利用函數的單調性去掉“f”，得到ax²+ax+1＞0對任意的x∈R恒成立，從而求得實數a的取值范圍．

解答：解：∵y=f（x-1）是由y=f（x）的圖象向右平移1個單位得到的，
又函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，
∴y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，
∴y=f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（-x）=f（x），
∴不等式f（ax²）+f（ax+1）＞0，即為f（ax²）＞-f（ax+1），即f（ax²）＞f（-ax-1），
∵任意的x∈R，不等式f（ax²）+f（ax+1）＞0恒成立，
∴f（ax²）＞f（-ax-1）對任意的x∈R恒成立，
∵函數y=f（x）是定義在R上的增函數，
∴ax²＞-ax-1對任意的x∈R恒成立，即ax²+ax+1＞0對任意的x∈R恒成立，
①當a=0時，不等式為1＞0恒成立，符合題意；
②當a≠0時，則有

a＞0 △=a2-4a＜0

，解得0＜a＜4，
綜合①②，a的取值范圍為[0，4）．
故選B．

點評：本題考查了抽象函數及其應用，函數單調性的判斷與證明，函數的恒成立問題，利用函數的單調性求解不等式，解決本題的關鍵是綜合運用函數性質把抽象不等式化為具體不等式．同時考查了恒成立問題，對于函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．本題選用了參變量分離的方法轉化成二次函數求最值問題．屬于函數知識的綜合應用．屬于中檔題．