Question

【題目】已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)時(shí)， 內(nèi)切圓的半徑為.

(1)求橢圓的方程；

(2)已知直線與橢圓相較于兩點(diǎn)，且，當(dāng)直線的斜率之和為2時(shí)，問(wèn)：點(diǎn)到直線的距離是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) 橢圓的方程為;(2)見解析.

【解析】分析：（1）依據(jù)題意，得到，又由，求得的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與橢圓的方程的聯(lián)立，求得，由，代入整理，求得的值，再由點(diǎn)到直線的距離公式，設(shè)，即可求得距離的最大值，得到結(jié)論.

詳解：

(1)依題意： ,則，即

又,聯(lián)立解得： ，故，所以橢圓的方程為

(2)設(shè),

聯(lián)立直線和橢圓的方程得： ,

當(dāng)時(shí)有：

由得： ,即,

整理得： ,所以,

化簡(jiǎn)整理得： ，代入得： ,

解之得： 或,

點(diǎn)到直線的距離,

設(shè)，易得或，則,

當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)， ,

若，則；若，則，當(dāng)時(shí)，

綜上所述： ，故點(diǎn)到直線的距離沒有最大值.