Question

已知函數f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常數a＞0．
（1）當a＞2時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）當a=4時，若函數y=f（x）-m有三個不同的零點，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f（x）=x²-（a+2）x+alnx可知，函數的定義域為{x|x＞0}，
且
因為a＞2，所以．
當0＜x＜1或時，f'（x）＞0；當時，f'（x）＜0，
所以f（x）的單調遞增區間為．
（2）當a=4時，．
所以，當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	f（x）取極大值	單調遞減	f（x）取極小值	單調遞增

所以，．

函數f（x）的圖象大致如下：
所以若函數y=f（x）-m有三個不同的零點，
則m∈（4ln2-8，-5）．
分析：（1）求導數f′（x），當a＞2時在函數定義域內解不等式f′（x）＞0即可．
（2）數形結合：當a=4時，用導數求出函數y=f（x）的極大值與極小值，畫出草圖，借助圖象即可求得m的取值范圍．
點評：本題考查了導數的綜合應用，用導數求函數單調區間、求函數極值以及作圖能力，數形結合思想在解決本題中提供了有力保障．