Question

已知函數f（x）=a^x-

10

3

a的反函數f^-1（x）的圖象過點（-1，2），且函數f（x）為減函數．
（1）求y=f^-1（x）的解析式；
（2）求滿足f^-1（2x）＞f^-1（x²+1）的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得函數f（x）的圖象過點（2，-1），解得a的值，求出函數f（x）的解析式，從而得到 f^-1（x）的解析式．
（2）由f^-1（2x）＞f^-1（x²+1）可得，

2x+ 10 9 ＞0 2x+ 10 9 ＜x2+1+ 10 9

，由此求出x的取值范圍．

解答：解：（1）∵反函數f^-1（x）的圖象過點（-1，2），
故函數f（x）的圖象過點（2，-1），∴-1=a²-

10

3

a，解得a=3，或a=

1

3

．
又f（x）為減函數，∴a=

1

3

，所以f（x）=(

1

3

)x-

10

9

，f（x）＞-

10

9

．
所以f^-1（x）=log

1

3

（x+

10

9

），（x＞-

10

9

）．
（2）由f^-1（2x）＞f^-1（x²+1），可得

2x+ 10 9 ＞0 2x+ 10 9 ＜x2+1+ 10 9

，解得

x＞- 5 9 x≠1

．
故滿足f^-1（2x）＞f^-1（x²+1）的x的取值范圍是{x|x＞-

5

9

且x≠1}．

點評：本題主要考查對數函數的單調性和特殊點，求一個函數的反函數，屬于基礎題．