Question

設函數f（x）的定義域為D，如果對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

1

2

[f(x1)+f(x2)]=c（c為常數）成立，則稱函數f（x）在D上的均值為c．下列4個函數：①y=4sinx，②y=x³，③y=lgx，④y=2^x．則滿足在其定義域上的均值為2的所有函數的序號是

②③

．

Answer 1

分析：函數①y=4sinx，因為y=4sinx是R上的周期函數，不成立．
②y=x³，可直接取任意的x₁∈R，驗證求出唯一x2=

3	4- x 3 1

的，即可得到成立．
③y=lgx，定義域為x＞0，值域為R且單調，顯然成立．
④y=2^x，特殊值法代入驗證不成立成立．即可得到答案．

解答：解：①y=4sinx，明顯不成立，因為y=4sinx是R上的周期函數，存在無窮個的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故不滿足條件
②y=x³，取任意的x₁∈R，由

f(x1)+f(x2)

2

=2，解得x2=

3	4- x 3 1

，可以得到唯一的x₂∈D．故滿足條件．
③y=lgx，定義域為x＞0，值域為R且單調，顯然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．
④y=2^x定義域為R，值域為y＞0．對于x₁=3，f（x₁）=8．要使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立，則f（x₂）=-4，不成立．
故答案為：②③．

點評：本題主要考查新定義的應用，考查學生的推理和判斷能力．綜合性較強．