Question

設數列{a_n}是等差數列，a₅=6，a₃=2時，若自然數k₁，k₂，…，k_n…（n∈N^*）滿足5＜k₁＜k₂＜…＜k_n＜…，使得a₃，a₅，ak1ak2，…akn，…成等比數列，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{k_n}的通項公式及其前n項的和．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列{a_n}的第3項和第5項求出公差d=2，再求出a₁=-2，結合等差數列的通項公式即可求出a_n的表達式；
（2）由等比數列的通項公式，算出題中等比數列的公比q=3，從而得到第n項akn=2•3n+1，根據akn同時是{a_n}的第k_n項建立相等關系，即可得到kn=3n+1+2，最后結合等比數列的求和公式即可得到數列{k_n}的其前n項的和．

解答：解：（1）∵等差數列{a_n}中，a₅=6，a₃=2
∴{a_n}的公差d=

a5-a3

5-3

=

6-2

5-3

=2，可得a₁=a₃-2d=-2
因此，{a_n}的通項公式為a_n=a₁+（n-3）×2=2n-4
（2）∵2，6，ak1，ak2，…akn，…成等比數列，
∴該數列的公比q=

6

2

=3，可得akn=2•3n+1，
又∵akn 是等差數列{a_n}中的第k_n項，∴ak n=2kn-4，
因此，2•3ⁿ⁺¹=2k_n-4，解之得kn=3n+1+2，
∴k₁+k₂+…k_n=（3²+2）+（3³+2）+（3⁴+2）+…+（3ⁿ⁺¹+2）
=（3²+3³+…3ⁿ⁺¹）+2n=

9

2

(3n-1)+2n．
即數列{k_n}的通項公式為：kn=3n+1+2，其前n項的和為

9

2

(3n-1)+2n．

點評：本題給出等差數列的第3項、第5項是等比數列的前2項，求等比數列與等差數列的公共項按原來的順序構成數列的通項公式．著重著重考查了等差、等比數列的通項公式和等比數列前n項和公式等知識，屬于中檔題．