Question

對于任意的復數z=x+yi（x，y∈R），定義運算P（z）=x²[cos（yπ）+isin（yπ）]．
（1）集合A={ω|ω=P（z），|z|≤1，Rez，Imz均為整數}，試用列舉法寫出集合A；
（2）若z=2+yi（y∈R），P（z）為純虛數，求|z|的最小值；
（3）直線l：y=x-9上是否存在整點（x，y）（坐標x，y均為整數的點），使復數z=x+yi經運算P后，P（z）對應的點也在直線l上？若存在，求出所有的點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據所給的復數的條件，寫出復數的實部和虛部滿足的條件，根據要求是整數，列舉出所有的情況，得到要求的集合A，用列舉法表示出集合．
（2）表示出P（z），根據它是一個純虛數，得到實部和虛部與0的關系，得到關于三角函數的關系式，得到y，k之間的關系，表示出復數的模長，根據二次函數求出最值．
（3）寫出P（z）對應點坐標為（x²cos（yπ），x²sin（yπ）），根據所給的條件得到關系式，根據三角函數的值討論出對應的復數．

解答：解：（1）

z=x+yi |z|≤1

⇒x2+y2≤1
由于x，y∈Z，得

x=±1 y=0

，

x=0 y=±1

，

x=0 y=0

∴P（±1）=1，P（±i）=0，P（0）=0，
∴A={0，1}
（2）若z=2+yi（y∈R），則P（z）=4[cos（yπ）+isin（yπ）]
若P（z）為純虛數，則

cosyπ=0 sinyπ≠0

∴y=k+

1

2

，k∈Z
∴|z|=

22+y2

=

(k+ 1 2 )2+4

，k∈Z
∴當k=0或-1時，|z|min=

17

2

．
（3）P（z）對應點坐標為（x²cos（yπ），x²sin（yπ））
由題意：

y=x-9 x2sinyπ=x2cosyπ-9 x，y∈Z

得x²sin（xπ-9π）=x²cos（xπ-9π）-9
所以 x²sinxπ=x²cosxπ+9∵x∈Z
∴①當x=2k，k∈Z時，得x²+9=0不成立；
②當x=2k+1，k∈Z時，得x²-9=0∴x=±3成立
此時

x=3 y=-6

或 

x=-3 y=-12

即z=3-6i或z=-3-12i．

點評：本題考查復數的概念和模長的運算，本題解題的關鍵是根據所給的條件，表示出復數的意義，本題與其他的知識點結合，是一個綜合題目．