Question

已知函數，數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=f'（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求通項a_n；
（Ⅱ）令，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數，則f′（x）=，S_n=f'（n）=，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-=n；
當n=1時，a₁=S₁=1，符合上式，
故a_n=n
（Ⅱ）由題意=n×2ⁿ
∴，兩邊同乘以2，得
，兩式相減得
=
=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴
故答案為：（n-1）×2ⁿ⁺¹+2
分析：（Ⅰ）由題意可得S_n=，由可求通項a_n；
（Ⅱ），由其特點可知：數列的每一項都是由等差數列里的項與等比數列里的項的成績構成的，用錯位相減法可求和．
點評：本題為數列求和的錯位相減法，涉及函數與數列的關系，掌握錯位相減法求和是解決問題的關鍵，屬中檔題．