Question

已知函數f（x）=ax²+x-xlnx（a＞0）．
（1）若函數滿足f（1）=2，且在定義域內f（x）≥bx²+2x恒成立，求實數b的取值范圍；
（2）若函數f（x）在定義域上是單調函數，求實數a的取值范圍；
（3）當

1

e

＜x＜y＜1時，試比較

y

x

與

1+lny

1+lnx

的大小．

Answer 1

分析：（1）依題意，1-

1

x

-

lnx

x

≥b，構造函數g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，利用導數可求得g（x）_min，從而可求得實數b的取值范圍；
（2）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），令f′（x）≥0可求得a的范圍，對a的范圍分情況討論可由f（x）在定義域上是單調函數，求得實數a的取值范圍；
（3）由（I）知g（x）=1-

1+lnx

x

在（0，1）上單調遞減，從而可得，

1

e

＜x＜y＜1時，

1+lnx

x

＜

1+lny

y

，進一步分析即可得到

y

x

＜

1+lny

1+lnx

．

解答：解：（1）由f（1）=2，得a=1，又x＞0，
∴x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立?1-

1

x

-

lnx

x

≥b，…（1分）
令g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，可得g（x）在（0，1]上遞減，
在[1，∞）上遞增，所以g（x）_min=g（1）=0，
即b≤0…（3分）
（2）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），
令f′（x）≥0得：2a≥

lnx

x

，設h（x）=

lnx

x

，當x=e時，h（x）_max=

1

e

，
∴當a≥

1

2e

時，函數f（x）在（0，+∞）單調遞增…（5分）
若0＜a＜

1

2e

，g（x）=2ax-lnx，（x＞0），g′（x）=2a-

1

x

，
g′（x）=0，x=

1

2a

，x∈（0，

1

2a

），g′（x）＜0，x∈（

1

2a

，+∞），g′（x）＞0，
∴x=

1

2a

時取得極小值，即最小值．
而當0＜a＜

1

2e

時，g（

1

2a

）=1-ln

1

2a

＜0，
f′（x）=0必有根，f（x）必有極值，在定義域上不單調…（8分）
∴a≥

1

2e

…（9分）
（3）由（I）知g（x）=1-

1+lnx

x

在（0，1）上單調遞減，
∴

1

e

＜x＜y＜1時，g（x）＞g（y）即

1+lnx

x

＜

1+lny

y

…（10分）
而

1

e

＜x＜y＜1時，-1＜lnx＜0，
∴1+lnx＞0，
∴

y

x

＜

1+lny

1+lnx

…（12分）

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值，考查函數的單調性與導數的關系，突出分類討論思想在分析解決問題中的應用，屬于難題．