Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=AD=a，BC=2a，PD⊥底面ABCD．
（1）在PD上是否存在一點F，使得PB∥平面ACF，若存在，求出

PF

FD

的值；若不存在，試說明理由；
（2）在（1）的條件下，若PA與CD所成的角為60°，求二面角A-CF-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意建立空間直角坐標系，假設存在點F使PB∥平面ACF，先寫出坐標含有變量，在利用平面法向量的定義建立方程解出即可；
（2）坐標寫出后因為PA與CD所成的角為60°，利用夾角建立坐標設出的變量的方程，然后利用兩平面的法向量的夾角求出所求的二面角的大小．

解答：解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系：
D（0，0，0），A（0，a，0），B（a，a，0），C（a，-a，0），
設PD=b，則P（0，0，b），假設存在點F使PB∥平面ACF，F（0，0，λb）（0＜λ＜1）
設平面ACF的一個法向量為

n

=(x，y，z)，

AC

=(a，-2a，0)，

FA

=(0，a，-λb)，

PB

=(a，a，-b)

n • AC =0 n • FA =0

，

n

=(2，1，

a

λb

)，
所以

n

•

PB

=0，2a+a-

a

λ

=0，λ=

1

3

，所以

PF

DF

=2，
（2）

PA

=(0，a，-b)，

DC

=(a，-a，0)，
因為PA與CD所成的角為60°
所以cos60°=|cos＜

PA

•

DC

＞|=

| PA • DC |

|PA |•| DC |

=

a2

a2+b2 • 2 a

=

1

2

，
則a=b，
由（1）知平面ACF的一個法向量為

n

=(2，1，3)
因為∠BAD=90°，AB=AD=a，BC=2a，所以CD=

2

a，BD=

2

a，
所以BC²=CD²+BD²，所以BD⊥BC，
又PD⊥底面ABCD，則BD⊥平面CDF，
所以

DB

=(a，a，0)是平面CDF的一個法向量，
所以cos＜

n

•

DB

＞=

n • DB

|n |•| DB |

=

3a

14 • 2 a

=

3 7

14

，
所以二面角的余弦值為

3 7

14

．

點評：此題重點考查了利用條件恰當的建立了空間直角坐標系，先設出坐標用未知的變量表示，在利用平面法向量的知識建立方程進行求解，還利用向量求出二面角的大小．