Question

（本小題滿分1６分）
已知數(shù)列滿足，
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列  （2）求數(shù)列的通項公式
（3）試問：數(shù)列中是否存在不同的三項恰好成等差數(shù)列？若存在，求出這三項；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1） ∵，∴
所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列．．．．５分
（2） 　　．．．．．．．．．．．１０分
（3）中不存在不同的三項恰好成等差數(shù)列.

試題分析：(1)由，得,
根據(jù)等比數(shù)列的定義可知是等比數(shù)列.
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，可求出
(3)解本小題的關(guān)鍵：假設(shè)數(shù)列中存在不同的三項恰好成等差數(shù)列，顯然是遞增數(shù)列，然后可設(shè)，則即，進(jìn)而得到,
然后再根據(jù)p,q,r取正整數(shù)值，并且還要從奇偶性判斷是否存在.
（1） ∵，∴
所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列．．．．５分
（2） 　　．．．．．．．．．．．１０分
（3）若數(shù)列中存在不同的三項恰好成等差數(shù)列，顯然是遞增數(shù)列，不妨設(shè)，則
即，化簡得：
……（*）．．．．．．．．．．．．．．．．１４分
由于，且，知≥1，≥2，
所以（*）式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)， 　故數(shù)列中不存在不同的三項恰好成等差數(shù)列.．１６分
點評：等比數(shù)列的定義是判定一個數(shù)列是否是等比數(shù)列的依據(jù)，勿必理解掌握.對于探索性問題可先假設(shè)存在，然后根據(jù)條件探索存在應(yīng)滿足的條件，從而最終得出結(jié)論.