Question

設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F；虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  2

• B．

  5 -1

  2

• C．

  3 +1

  2

• D．

  5 +1

  2

Answer 1

分析：設(shè)該雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），得點(diǎn)B（0，b），焦點(diǎn)為F（c，0），直線FB的斜率為-

b

c

．由垂直直線的斜率之積等于-1，建立關(guān)于a、b、c的等式，變形整理為關(guān)于離心率e的方程，解之即可得到該雙曲線的離心率．

解答：解：設(shè)該雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
可得它的漸近線方程為y=±

b

a

x，焦點(diǎn)為F（c，0），
點(diǎn)B（0，b）是虛軸的一個(gè)端點(diǎn)
∴直線FB的斜率為k_FB=

0-b

c-0

=-

b

c

∵直線FB與直線y=

b

a

x互相垂直，
∴-

b

c

×

b

a

=-1，得b²=ac
∵b²=c²-a²，
∴c²-a²=ac，兩邊都除以a²，整理得e²-e-1=0
解此方程，得e=

1± 5

2

∵雙曲線的離心率e＞1，∴e=

5 +1

2

（舍負(fù)）
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的焦點(diǎn)與虛軸一端的連線與漸近線垂直，求它的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．