Question

已知x，y，z∈R，且x+y+z=8，x²+y²+z²=24，則x的取值范圍是（　　）

• A．[

  3

  4

  ，4]
• B．[

  4

  3

  ，4]
• C．[

  3

  4

  ，3]
• D．[

  4

  3

  ，3]

Answer 1

分析：由y+z=8-x，知yz=

1

2

[（y+z）²-（y²+z²）]=x²-8x+20，進而y，z是方程t²-（8-x）t+x²-8x+20=0的兩個實根，知△≥0．由此能夠證明

4

3

≤x≤4．

解答：證明：由y+z=8-x，y²+z²=24-x²，知yz=

1

2

[（y+z）²-（y²+z²）]=x²-8x+20，
故y，z是方程t²-（8-x）t+x²-8x+20=0的兩個實根，
由△≥0得到（8-x）²-4（x²-8x+20）≥0
整理得3x²-16x+16≤0，解得

4

3

≤x≤4，
故答案為：B

點評：本題考查不等式的證明，解題時要注意根的判別式和公式的靈活運用．