Question

（2012•丹東模擬）已知x=

π

6

是函數f（x）=（asinx+cosx）cosx-

1

2

圖象的一條對稱軸．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）作出函數f（x）在x∈[0，π]上的圖象簡圖（不要求書寫作圖過程）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得f（0）=f（

π

3

），即

1

2

=

1

2

a•sin

2π

3

+

1

2

cos

2π

3

，由此求得a的值．
（Ⅱ）由a=

3

，可得f（x）=

1

2

3

•sin2x+

1

2

cos2x=2sin（2x+

π

6

），其圖象如圖所示．

解答：解：（Ⅰ）∵x=

π

6

是函數f（x）=（asinx+cosx）cosx-

1

2

的圖象的一條對稱軸，且f（x）=

1

2

a•sin2x+

1+cos2x

2

-

1

2

=

1

2

a•sin2x+

1

2

cos2x，
∴f（0）=f（

π

3

），即

1

2

=

1

2

a•sin

2π

3

+

1

2

cos

2π

3

，解得 a=

3

．
（Ⅱ）∵a=

3

，∴f（x）=

1

2

×

3

•sin2x+

1

2

cos2x=2sin（2x+

π

6

），其圖象如圖所示：

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，函數的對稱性的應用，用五點法作y=Asin（ωx+∅）的圖象，屬于中檔題．