Question

函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R）的圖象經過原點，且f（-1）=2和f（1）=-2分別是函數f（x）的極大值和極小值．
（Ⅰ）求a，b，c，d；
（Ⅱ）過點A（1，-3）作曲線y=f（x）的切線，求所得切線方程．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由于函數f（x）的圖象經過原點，可得f（0）=d=0．f（-1）=2和f（1）=-2分別是函數f（x）的極大值和極小值，可得f′（-1）=f′（1）=0，解出即可．
（II）設切點為M(x0，x03-3x0)．可得切線方程為：y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)，把點A（1，-3）代入解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數f（x）的圖象經過原點，
∴f（0）=d=0．
∵f（-1）=2和f（1）=-2分別是函數f（x）的極大值和極小值．
∴f'（x）=3ax²+2bx+c=3a（x+1）（x-1）=3ax²-3a，
∴b=0，c=-3a，
∴f（x）=ax³-3ax，
又∵f（-1）=2，f（1）=-2，
∴a=1
經檢驗，a=1，b=0，c=-3，d=0
即：f（x）=x³-3x．
（Ⅱ）設切點為M(x0，x03-3x0)．
則切線方程為：y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)，
把點A（1，-3）代入可得-3-(x03-3x0)=(3x02-3)(1-x0)，
即：2x03-3x02=0，
解得x₀=0或x0=

3

2

．
∴切線為y=-3x和y=

15

4

x-

27

4

．

點評：本題考查了利用導數研究函數的極值、切線的斜率、切線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．