Question

已知函數f（x）=x²-x，g（x）=lnx-f（x）f'（x）
（1）求g（x）的最大值及相應x的值；
（2）對任意的正數x，恒有，求實數m的最大值．

Answer 1

解（1）g（x）=lnx-（x²-x）（2x-1）=lnx-2x³+3x²-x，
，
當0＜x＜1時，g'（x）＞0；當x＞1時，g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，1]上是增函數，在[1，+∞）上是減函數，
所以，當x=1時，g（x）取得最大值g（1）=0；
（2），即，
可化為①，
因為x＞0，所以（當x=1時取到等號），
設，①可化為t²-2-t≥tln（m²-2m-2），即當t≥2時恒成立，
令，
所以h（t）在[2，+∞）上是增函數，所以h（t）≥h（2）=0，于是ln（m²-2m-2）≤0，
解不等式0＜m²-2m-2≤1，解得，
所以m的最大值為3．
分析：（1）寫出g（x）表達式，求導數g′（x），在定義域內解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0可得g（x）的單調區間，由單調性可得其最大值，同時得相應x值；
（2）可化為，令，由①分離出m后轉化為求關于t的最小值，構造函數用導數可求其最小值，再解關于m的不等式即可；
點評：本題考查利用導數求函數在閉區間上的最值及函數恒成立問題，轉化為函數最值問題是解決恒成立問題的常用方法，要注意掌握．