Question

已知數列{a_n}，首項a ₁=3且2a _n=S _n•S _n-1 （n≥2）．
（1）求證：{}是等差數列，并求公差；
（2）求{a _n }的通項公式；
（3）數列{a_n}中是否存在自然數k，使得當自然數k≥k時使不等式a_k＞a_k+1對任意大于等于k的自然數都成立，若存在求出最小的k值，否則請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中2a _n=S _n•S _n-1，我們易可2（S_n-S_n-1）=S_n•S_n-1，兩這同除S_n•S_n-1后，即可得到（n≥2），即數列{}是以為公差等差數列，再由首項a ₁=3，代入求出數列{}的首項，即可得到數列{}的通項公式；
（2）由（1）的結論，結合2a _n=S _n•S _n-1，我們可以得到n≥2時，{a _n }的通項公式，結合首項a ₁=3，我們可以得到{a _n }的通項公式；
（3）令a_k＞a_k+1解不等式我們可以求出滿足條件的取值范圍，再根據k∈N，即可得到滿足條件的k值．
解答：解：（1）．由已知當n≥2時2a_n=S_n•S_n-1得：2（S_n-S_n-1）=S_n•S_n-1（n≥2）⇒（n≥2）⇒是以為首項，公差d=-的等差數列．
（2）．∵=，
從而，
∴
（3）.
點評：本題考查的知識點是等差關系的確定，數列的函數特性，數列的遞推公式．要判斷一個數列是否為等差數列最常用的辦法就是根據定義，判斷a_n-a_n-1是否為一個常數．