Question

已知函數f（x）=xⁿ，其中n∈Z，n≥2．曲線y=f（x）在點P（x₀，f（x₀））（x₀＞0）處的切線為l，l與x軸交于點Q，與y軸交于點R，則

|PQ|

|PR|

=（　　）

• A．

  1

  n-1

• B．

  1

  n

• C．

  2

  n-1

• D．

  2

  n

Answer 1

分析：先利用導數求出切線的斜率，從而求出切線方程，然后根據切線與x軸的交點Q的坐標，利用相似三角形可得

|PQ|

|PR|

．

解答：解：由題可得f′（x）=nx^n-1．
所以曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線方程是：y-f（x₀）=f′（x₀）（x-x₀）．
即y-x₀ⁿ=nx₀^n-1（x-x₀）．
令y=0，得-x₀ⁿ=nx₀^n-1（x-x₀）．
x₀＞0，
∴x=x₀-

x0

n

，得l與x軸交點Q（x₀-

x0

n

，0），如圖．
則

|PQ|

|PR|

=

|PA|

|PB|

=

|x0- x0 n -x0|

|x0|

=

1

n

．
故選B．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線在某點處的切線，以及導數的幾何意義，同時考查了運算求解的能力和分析問題的能力，屬于基礎題．