Question

若（1-2^x）⁹展開式的第3項為288，則2-(

1

x

+

1

x2

+…+

1

x100

)=

2•(

2

3

)100

．

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求出展開式的第三項，列出方程求出x的值．再直接代入等比數列的求和公式即可得到結論．

解答：解：展開式的第三項為C₉²（-2^x）²=36×4^x
∴36×4^x=288
解得x=

3

2

．
故2-(

1

x

+

1

x2

+…+

1

x100

)=2-

1 x (1-( 1 x )100)

1- 1 x

=2-

2 3 (1-( 2 3 )100)

1- 2 3

=2-2（1-(

2

3

)100）=2•(

2

3

)100．
故答案為：2•(

2

3

)100．

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題以及等比數列求和公式的應用，是對基礎知識的綜合考察，需要熟練掌握基礎知識．