Question

已知橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為4，離心率為

2

2

，其一個焦點在拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的準線上，過C₂的焦點F的直線交C₂于A、B兩點，分別過A、B作C₂的切線，兩切線交于點Q．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）當點Q在C₁內部運動時，求△QCD面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由橢圓條件得

2b=4 c a = 2 2 a2-b2=c2

，解得即可．由于拋物線的焦點F與C₁的一個焦點重合，可得

p

2

=2，即可得到C₂的方程．
（II）由題意知直線AB的斜率存在且過點F（0，2），令A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），設其方程為y=kx+2，與拋物線方聯立可得根與系數的關系，由x²=8y得，y′=

1

4

x，即可得到切線AQ、BQ的方程，聯立解得點Q的坐標，利用點Q在橢圓的內部可得k的取值范圍．令C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄），把直線AB的方程與橢圓方程聯立可得根與系數的關系，進而得到弦長|CD|，利用點到直線的距離公式可得點Q到直線CD的距離，進而得到三角形△QCD的面積，利用導數即可得出其最值．

解答：解：（Ⅰ）由橢圓條件得

2b=4 c a = 2 2 a2-b2=c2

，解得

a=2 2 b=2 c=2

，
∴C₁：

y2

8

+

x2

4

=1．
∵拋物線的焦點F與C₁的一個焦點重合，
∴

p

2

=2，解得p=4，
∴C₂：x²=8y．
（Ⅱ）由題意知直線AB的斜率存在且過點F（0，2），設其方程為y=kx+2，
由

y=kx+2 x2=8y

消去y得，x²-8kx-16=0
令A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=8k，x₁•x₂=-16，
由x²=8y得，y=

1

8

x2，y′=

1

4

x，
∴AQ：y=

1

4

x1x-

1

8

x

2 1

，BQ：y=

1

4

x2x-

1

8

x

2 2

聯立AQ、BQ的方程解得，x=

x1+x2

2

=4k，y=

1

4

x2•

x1+x2

2

-

1

8

x

2 2

=

1

8

x1x2=-2，
∴Q（4k，-2），由于點Q在橢圓的內部，∴

(-2)2

8

+

(4k)2

4

＜1，∴0≤k2＜

1

8

．
由

y=kx+2 2x2+y2=8

消去y得，x²-kx-16=0，
令C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄），則x3+x4=-

4k

2+k2

，x3•x4=-

4

2+k2

，
∴|CD|=

(1+k2)[(- 4k 2+k2 )2+ 16 2+k2 ]

=

4 2 (k2+1)

k2+2

，
Q點到直線CD的距離d=

|4k2+4|

k2+1

=

k2+1

，
∴△QCD的面積S△QCD=

1

2

•

4 2 (k2+1)

k2+2

•4

k2+1

=

8 2 (k2+1) k2+1

k2+2

•
令

k2+1

=t(1≤t＜

3 2

4

)，考察函數f(t)=

8 2 t3

t2+1

，1≤t＜

3 2

4

，
∵f′(t)=

8 2 t2(t2+3)

(t2+1)2

＞0，
∴f（t）在[1，

3 2

4

)上單調遞增，
∴f(1)≤f(t)＜f(

3 2

4

)，∴4

2

≤f(t)＜

108

17

，
即4

2

≤S△QCD＜

108

17

．

點評：本題綜合考查了直線與圓錐曲線的相交及相切位置關系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積公式、利用導數研究函數的單調性及幾何意義等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．