Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.

給定橢圓：  ，稱圓心在坐標原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”．

（1）若橢圓過點，且焦距為，求“伴隨圓”的方程；

（2）如果直線與橢圓的“伴隨圓”有且只有一個交點，那么請你畫出動點 軌跡的大致圖形；

（3）已知橢圓的兩個焦點分別是，

橢圓上一動點滿足．設點是橢圓的“伴隨圓”上的動點，過點作直線使得與橢圓都各只有一個交點，且分別交其“伴隨圓”于點．

研究：線段的長度是否為定值，并證明你的結論．

Answer 1

（１）解　由題意得：　，則．．．．．．．１分

又由焦距為，所以　焦距為．．．．．．．．．．２分

故所求的“伴隨圓”的方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．４分

（２）由于橢圓的“伴隨圓”與直線有且只有一個交點，

則圓心到直線的距離等于半徑，

即　．．．．．．．．．．．．．．７分

故動點 軌跡方程為　　

即動點的軌跡是：以原點為圓心半徑為３的圓上八分之一弧（除去兩端點）如圖．．１０分

（３）由題意得：得，半焦距

則橢圓的方程為 “伴隨圓”的方程為

　　　

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

文科　因為“伴隨圓”的方程為與軸正半軸的交點，設過點，且與橢圓有一個交點的直線為，

則　　整理得．．．．．．．．１4分

所以，解得

所以，的方程為，．．．．．．．．．．１６分

由于，垂直，線段的長度為４．．．．．．．．．．．．．．．１８分

理科

①當，中有一條無斜率時，不妨設無斜率，

因為與橢圓只有一個交點，則其方程為或，

當方程為時，此時與“伴隨圓”交于點，，

此時經過點（或）且與橢圓只有一個公點的直線（或），即為（或）顯然直線，垂直；

同理可證方程為時 ，直線，垂直，所以．．．．．．．13分

②當，都有斜時，設點，其中。設經過點與橢圓為只有一共點的直線為，則消去，

得    

即　　　　　　

經過化簡得到：

因為，所以有．．．．．．．１６分

設，的斜率分為，因為，與橢圓都有只有一個交點，

所以滿足方程

所以，即，垂直．

綜合①②知：因為， 經過點，又分別交其“伴隨圓”于點，且，垂直，所以線段為“伴隨圓” 的直徑，所以．．．１８分