Question

【題目】已知是橢圓的左、右焦點，離心率為，是平面內兩點，滿足，線段的中點在橢圓上，周長為12.

（1）求橢圓的方程；

（2）若與圓相切的直線與橢圓交于，求（其中為坐標原點）的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由已知可得是線段的中點，再由是線段的中點，結合橢圓定義可得周為，再由離心率，求出，即可求出橢圓標準方程.

（2）先考慮直線斜率不存在，求出，直線斜率存在，設直線方程，與單位圓相切求出關系，直線方程與橢圓方程聯立，消去，求出橫坐標乘積，進而求出縱坐標乘積，結合關系，求出關于目標函數，根據函數的特點，求出其范圍.

（1）連接，，，

是線段的中點，是線段的中點，

由橢圓的定義知，，

周長為，

由離心率為知，，解得，，

橢圓的方程為.()

（2）當直線的斜率不存在時，直線，

代入橢圓方程解得，此時，

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

由直線與圓相切知，，，

將直線方程代入橢圓的方程整理得，

，

設，則，，

，

，

，

，，，

，

綜上所述，的取值范圍為.