Question

已知圓，直線與圓相切，且交橢圓于兩點，c是橢圓的半焦距，.
（1）求m的值；
（2）O為坐標原點，若，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，設橢圓的左右頂點分別為A，B，動點，直線與直線分別交于M，N兩點，求線段MN的長度的最小值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：本題主要考查圓的標準方程、橢圓的標準方程、直線的標準方程、直線與圓的位置關系、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查數形結合思想，考查轉化能力和計算能力.第一問，利用直線與圓相切，利用圓心到直線的距離為半徑，列出等式，求出；第二問，直線與橢圓相交，兩方程聯立，消參，得到關于的方程，利用兩根之和，兩根之積和向量的數量積聯立，得到和，從而求出橢圓的方程；第三問，設直線的斜率，設出直線的方程，直線與橢圓聯立，消參，利用兩根之積，得到的值，則可以用表示坐標，利用點坐標，求出直線的方程，直線的方程與直線聯立，求出點坐標，利用兩點間距離公式，得到的表達式，利用均值定理求出最小值.
試題解析：（1）直線與圓相切,
所以                                 4分
(2) 將代入得
得:①
設則

因為           ②
由已知代人（2）
所以橢圓的方程為                                        8分
(Ⅲ)顯然直線AS的斜率存在，設為且則
依題意，由得：
設則即
，又B（2，0）所以  BS：
由 
所以時：                                          12分