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設f(x)是定義在實數集R上的函數,且滿足下列關系f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x),則f(x)是


  1. A.
    偶函數,又是周期函數
  2. B.
    偶函數,但不是周期函數
  3. C.
    奇函數,又是周期函數
  4. D.
    奇函數,但不是周期函數
C
分析:將題中兩個等式相結合,運用變量代換的方法可證出f(40+x)=f(x),從而得出f(x)是周期T=40的周期函數,再根據f(-x)=f(40-x)結合f(20-x)=-f(20+x),可證出f(-x)=f(x),從而得到本題的答案.
解答:∵f(20-x)=f[10+(10-x)]=f[10-(10-x)]=f(x)=-f(20+x).
∴f(20+x)=-f(40+x),結合f(20+x)=-f(x)得到f(40+x)=f(x)
∴f(x)是以T=40為周期的周期函數;
又∵f(-x)=f(40-x)=f(20+(20-x)=-f(20-(20-x))=-f(x).
∴f(x)是奇函數.
故選:C
點評:本題給出滿足兩個等式的抽象函數,求函數的周期性和奇偶性,著重考查了函數的定義和抽象函數的應用等知識,屬于基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

設f(x)是定義在區間(-∞,+∞)上以2為周期的函數,對k∈Z,用Ik表示區間(2k-1,2k+1],已知當x∈I0時,f(x)=x2
(1)求f(x)在Ik上的解析表達式;
(2)對自然數k,求集合Mk={a|使方程f(x)=ax在Ik上有兩個不等的實根}

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科目:高中數學 來源: 題型:

設f(x)是定義在區間[a,b]上的函數,且f(a)f(b)<0,則方程f(x)=0在區間[a,b]上(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=log
1
2
x
與函數g(x)的圖象關于y=x對稱,
(1)若g(a)g(b)=2,且a<0,b<0,則
4
a
+
1
b
的最大值為
-9
-9

(2)設f(x)是定義在R上的偶函數,對任意的x∈R,都有f(2-x)=f(x+2),且當x∈[-2,0]時,f(x)=g(x)-1,若關于x的方程f(x)-lo
g
(x+2)
a
=0(a>1)在區間(-2,6]內恰有三個不同實根,則實數a的取值范圍是
(
34
,2)
(
34
,2)

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科目:高中數學 來源: 題型:

設f(x)是定義在R上的偶函數,對任意x∈R,都有f(x)=f(x+2),且當x∈[-1,0]時f(x)=(
12
x-1,則關于x的方程f(x)-log3(x+2)=0在[-1,3]內實根的個數為
2
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

(A類)已知函數g(x)=(a+1)x-2+1(a>0)的圖象恒過定點A,且點A又在函數f(x)=log
3
(x+a)的圖象上.
(1)求實數a的值;                (2)解不等式f(x)<log
3
a;
(3)|g(x+2)-2|=2b有兩個不等實根時,求b的取值范圍.
(B類)設f(x)是定義在R上的函數,對任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y)
(1)求f(0)的值;     (2)求證:f(x)為奇函數;
(3)若函數f(x)是R上的增函數,已知f(1)=1,且f(2a)>f(a-1)+2,求a的取值范圍.

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