Question

14．如圖△ABC是等腰三角形，BA=BC，DC⊥平面ABC，AE∥DC，若AC=2且BE⊥AD，則（　　）

• A． AB+BC有最大值
• B． AB+BC有最小值
• C． AE+DC有最大值
• D． AE+DC有最小值

Answer 1

分析 取AC的中點O，連接OB，OE，則OB⊥AC，證明AD⊥平面BOE，確定$\frac{1}{AE}$=$\frac{CD}{2}$，利用基本不等式，即可得出結論．

解答 解：取AC的中點O，連接OB，OE，則OB⊥AC，
∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥OB，
∵DC∩AC=C，
∴OB⊥平面ADC，
∴OB⊥AD，
∵BE⊥AD，OB∩BE=B，
∴AD⊥平面BOE，
∴AD⊥OE，
∴∠AEO=∠CAD，
∴$\frac{1}{AE}$=$\frac{CD}{2}$，
∴AE=$\frac{2}{CD}$，
∴AE+CD=CD+$\frac{2}{CD}$≥2$\sqrt{2}$，當且僅當CD=$\sqrt{2}$時，AE+DC有最小值，
故選D．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查基本不等式的運用，確定AE，CD的關系是關鍵．