Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點A（ ， ），B（ ， ）． （Ⅰ）求 ， 夾角的余弦值；
（Ⅱ）已知C（1，0），記∠AOC=α，∠BOC=β，求tan 的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點 A（ ， ），B（ ， ），
∴ =（ ， ）， =（ ， ），| |=| |=1，
∴ ， 夾角的余弦值cos∠AOB= = = ．
（Ⅱ）設∠AOB的平分線OD交單位圓于點D，則∠COD= ，
從而D（cos ，sin ），∴ =（cos ，sin ），
連接AB，可知OD⊥AB，即 =0．
∴ = ﹣ =（﹣ ， ），
∴（cos ，sin ）（﹣ ， ）=﹣ cos + sin =0，
∴tan = ．
【解析】（Ⅰ）先求出向量 ， 的坐標，再跟它們的夾角的余弦值cos∠AOB= ，計算求得結果．（Ⅱ）設∠AOB的平分線OD交單位圓于點D，則∠COD= ，求得 的坐標，根據 =0，求得tan 的值．
【考點精析】掌握數量積表示兩個向量的夾角和兩角和與差的正切公式是解答本題的根本，需要知道設、都是非零向量，，，是與的夾角，則；兩角和與差的正切公式：．