Question

已知函數f(x)=x2+(

1

2

lnx-a)x+2在點（1，f（1））處的切線的斜率為

1

2

．
（Ⅰ）求a的值；
（ II）設函數g(x)=

f(x)

2x-4

(x＞2)問：函數y=g（x）是否存在最小值點x₀？若存在，求出滿足x₀＜m的整數m的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數f′（x），由題意知f′（1）=

1

2

，解出即得a值；
（ II）由（Ⅰ）寫出g（x），然后求出g′（x）=

2x2-7x+2-2lnx

(2x-4)2

，令h（x）=2x²-7x+2-2lnx，利用導數可判斷h（x）的單調性，由單調性及零點存在定理可得h（x）零點范圍，而該零點即最小值點x₀，由x₀＜m及m是整數可得m的最小值；

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=2x+

1

2x

•x+(

1

2

lnx-a)•1=2x+

1

2

+

1

2

lnx-a，
由題意得f′（1）=2×1+

1

2

+0-a=

1

2

，解得a=2；
（II）由（Ⅰ）知f(x)=x2+(

1

2

lnx-2)x+2，
則g(x)=

f(x)

2x-4

=

x2+( 1 2 lnx-2)x+2

2x-4

，
則g′(x)=

(2x+ 1 2 lnx- 3 2 )(2x-4)-(x2+ x 2 lnx-2x+2)×2

(2x-4)2

=

2x2-7x+2-2lnx

(2x-4)2

，
令h（x）=2x²-7x+2-2lnx，則h′(x)=4x-7-

2

x

=

4x2-7x-2

x

=

(4x+1)(x-2)

x

＞0，
故h（x）在（2，+∞）上為增函數，
又 h（2）=-4-2ln2＜0，h（3）=-1-2ln3＜0，h（4）=6-2ln4＞0，
因此最小值點x₀為h（x）的零點，所以3＜x₀＜4，而x₀＜m，m是整數，
故整數m的最小值為4．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點切線方程、函數的最值，構造函數h（x）是解決（II）的關鍵，導數是研究函數的有力工具，本題得到了充分發揮．