Question

等差數列{a_n}的公差d不為0，S_n是其前n項和，給出下列命題：
①若d＜0，且S₃=S₈，則S₅和S₆都是{S_n}中的最大項；
②給定n，對于一切k∈N^*（k＜n），都有a_n-k+a_n+k=2a_n；
③若d＞0，則{S_n}中一定有最小的項；
④存在k∈N^*，使a_k-a_k+1和a_k-a_k-1同號．
其中正確命題的個數為（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：根據等差數列的求和公式s_n=na₁+d=n²+（a₁-）n，因為d小于0得到s_n是開口向下的拋物線，根據S₃=S₈得到拋物線的對稱軸即可得到最大項，得到①正確；同理d大于0時，得到函數的最小項，③正確；根據等差中項的性質得到②正確；根據等差數列的通項公式和等差數列的性質得到a_k-a_k+1和a_k-a_k-1異號即④錯．
解答：解：因為{a_n}成等差數列，所以其前n項和是關于n的二次函數的形式且缺少常數項，d＜0說明二次函數開口向下，又S₃=S₈，說明函數關于直線x=5.5對稱，所以S₅、S₆都是最大項，①正確；
同理，若d＞0，說明函數是遞增的，故{S_n}中一定存在最小的項，③正確；
而②是等差中項的推廣，正確；
對于④，a_k-a_k+1=-d，a_k-a_k-1=d，因為d≠0，所以二者異號．
所以正確命題的個數為3個．
故選B
點評：考查學生靈活運用等差數列的前n項和的公式，掌握等差數列的性質和通項公式．