Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥CD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．

(Ⅰ)求PB和平面PAD所成的角的大小；

(Ⅱ)證明AE⊥平面PCD；

(Ⅲ)求二面角A－PD－C的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：在四棱錐中，因底面，平面，故． 　　又，，從而平面．故在平面內的射影為，從而為和平面所成的角． 　　在中，，故． 　　所以和平面所成的角的大小為． 　　(Ⅱ)證明：在四棱錐中， 　　因底面，平面，故． 　　由條件，，面． 　　又面，． 　　由，，可得． 　　是的中點，， 　　．綜上得平面． 　　(Ⅲ)解：過點作，垂足為，連結．由(Ⅱ)知，平面，在平面內的射影是，則． 　　因此是二面角的平面角． 　　由已知，可得．設，可得 　　，，，． 　　在中，，，則 　　． 　　在中，． 　　所以二面角的大小．