Question

已知一個直角三角形三個內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，則其中最小內(nèi)角的正弦值是

-1+ 5

2

．

Answer 1

分析：設(shè)A、B為銳角，且A＜B，C為直角，則sinC=1，sinB=cosA，由直角三角形三個內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，知sinA=sin²B=cos²A=1-sin²A，設(shè)sinA=m，得m²+m-1=0，由此能求出最小內(nèi)角的正弦值．

解答：解：不妨設(shè)A、B為銳角，且A＜B，C為直角，
則sinC=sin90°=1，sinB=cosA，
∵直角三角形三個內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，
∴

sinA

sinB

=

sinB

sinC

，
∴sinA=sin²B=cos²A=1-sin²A，
設(shè)sinA=m，
則m=1-m²，
m²+m-1=0，
∴m=

5 -1

2

，或m=

- 5 -1

2

（舍）．
所以最小內(nèi)角的正弦值是

5 -1

2

．
故答案為：

5 -1

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)與數(shù)列的綜合運用，求直角三角形中最小角的正弦值．解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，注意三角函數(shù)恒等式的靈活運用．